[2015년 운정고]

[2학년(이과) 1학기 기말 미적분1]

함수 [eqn: f(x)=2x ^{3} -4x ^{2} +3x]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: [0,```2]]에서 평균값의 정리를 만족시키는 [eqn: x]의 값을 [eqn: c]라 할 때, 실수 [eqn: c]의 값은? [3.6점]

②

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {8} over {3}]	⑤ [eqn: {10} over {3}]

곡선 [eqn: y=x ^{3} +6x ^{2} -11x+7] 위의 점 [eqn: (1,```3)]에서의 접선의 방정식을 [eqn: y=mx+n]이라 할 때, 상수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: m-n]의 값은? [3.6점]

⑤

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

삼차방정식 [eqn: x ^{3} -12x+k=0]이 서로 다른 두 개의 양의 근과 한 개의 음의 근을 가질 때, 정수 [eqn: k]의 최댓값은? [3.7점]

⑤

① [eqn: -15]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 15]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} -9x+a]에 대하여 함수 [eqn: g(x)= LEFT | f(x) RIGHT |]라 하자. [eqn: g(x)]는 [eqn: x=alpha], [eqn: x= beta ( alpha < beta )]에서 극댓값을 가질 때,
[eqn: LEFT | g( alpha )-g( beta ) RIGHT | `>10]을 만족시키는 정수 [eqn: a]의 개수는? [4.0점]

④

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

--

일정한 속력 [eqn: a][eqn: (rmm/초)]로 직선 도로를 달리는 어떤 자동차가 브레이크를 밟는 순간의 위치를 [eqn: 0]이라 할 때, 시각 [eqn: t]에서의 이 자동차의 위치가 [eqn: s(t)=-10t ^{2} +at]라고 한다. 이 자동차가 장애물과 거리가 [eqn: 80rmm]가 되는 순간 브레이크를 밟았다고 할 때, 장애물과 부딪히기 전에 자동차를 멈출 수 있도록 하는 자동차의 속력 [eqn: a]의 범위는 [eqn: 0 LEQ a< alpha]이다. 상수 [eqn: alpha]의 값은? [4.0점]

③

① [eqn: 10 sqrt { 2}]	② [eqn: 20 sqrt {2}]	③ [eqn: 40 sqrt {2}]

④ [eqn: 10 sqrt {10}]	⑤ [eqn: 20 sqrt { 10}]

다항함수 [eqn: f(x)]의 부정적분 중의 하나를 [eqn: F(x)]라고 할 때, [eqn: f(x)]가 다음 조건을 모두 만족시킨다고 하자.

이때, [eqn: f(2)]의 값은? [3.8점]

[eqn: circ][eqn: 4F(x)=xf(x)-f(x)]

[eqn: circ][eqn: f(0)=-1]

④

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

미분가능한 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가
[eqn: {d} over {dx} f(x)=g(x)], [eqn: {d} over {dx} g(x)=f(x)], [eqn: f(0)=4], [eqn: g(0)=2]
를 만족한다. 함수 [eqn: h(x)]가 [eqn: h(x)= left{f(x)right} ^{2} - left{g(x) right} ^{2}]을 만족할 때, [eqn: h(1)]의 값은? [3.8점]

③

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]에 대하여
[eqn: {d} over {dx} left{f(x)+g(x) right}=2x+1],
[eqn: {d} over {dx} left{f(x)g(x) right}=3x ^{2} -2x+1]
을 만족시키고 [eqn: f(0)=1], [eqn: g(0)=-1]일 때, [eqn: f(2)-g(2)]의 값은?
[3.7점]

⑤

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

정적분의 정의에 의하여 [eqn: int _{1} ^{3} {(2x+1)dx}]의 값을 구하는 과정이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: g(n,```k)], (나)에 알맞은 수를 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: {m} over {g(10,```5)}]의 값은? [3.8점]

정적분의 정의에서 [eqn: f(x)=2x+1], [eqn: a=1], [eqn: b=3]인 경우이므로
[eqn: DELTA x= {b-a} over {n} = {2} over {n}], [eqn: x _{k} =a+k DELTA x=box{`````(가)`````}]
이다.

[eqn: int _{1} ^{3} {(2x+1)dx= lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} f(x _{k} ) DELTA x} = lim _{n-> INF } {f LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT ) {2} over {n}}}]

[eqn: =][eqn: lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 3+ {4k} over {n} RIGHT ) {2} over {n}}]

[eqn: =][eqn: lim _{n-> INF } {{2} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 3+ {4k} over {n} RIGHT )}]

[eqn: =][eqn: lim _{n-> INF } {{2} over {n} LEFT { 3n+ {4} over {n} TIMES {n(n+1)} over {2} RIGHT }}]

[eqn: =][eqn: lim _{n-> INF } {{10n+4} over {n}}]

[eqn: =box{`````(나)`````}]

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: int _{x} ^{b} {f(t)dt=x ^{2} -x-2}]를 만족시킬 때, [eqn: f(b)]의 값은? (단, [eqn: b>0]) [3.6점]

①

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: lim _{n-> INF } { int _{0} ^{1} {LEFT ( x+ {x ^{2}} over {2} + {x ^{3}} over {3} +···+ {x ^{n}} over {n} RIGHT )} dx}]의 값은? [3.6점]

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 5over4]	③ [eqn: {4} over {3}]

④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: 2]

모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: f(1+t)=f(1-t)]를 만족시키는 함수 [eqn: f(t)]에 대하여 [eqn: lim _{x-> 0} {{1} over {x} int _{2} ^{2x+2} {f(t)dt}}]의 값은? (단, [eqn: f(0)=2])
[3.7점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1+ {4k} over {n} RIGHT ) ^{3} {2} over {n}}]의 값과 같은 값을 갖는 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.0점]

⑤

ㄱ. [eqn: int _{0} ^{1} {2(1+4x) ^{3} dx}]

ㄴ. [eqn: int _{{1} over {2}} ^{{5} over {2}} {`8x ^{3} dx}]

ㄷ. [eqn: int _{0} ^{4} {{1} over {2} (1+x) ^{3} dx}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

곡선 [eqn: y=x ^{3} +2]와 그 위의 점 [eqn: (1,```3)]에서의 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3.6점]

②

① [eqn: {25} over {4}]	② [eqn: {27} over {4}]	③ [eqn: {29} over {4}]

④ [eqn: {31} over {4}]	⑤ [eqn: {33} over {4}]

[15~16] 원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는
두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]에서의 속도 [eqn: v]가 각각 [eqn: f(t)=t ^{3} -7t ^{2} +10t],
[eqn: g(t)=2t ^{2} -6t]이다. 15번과 16번의 두 물음에 답하시오.

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 처음으로 다시 만나는데 걸린 시간은? [3.7점]

②

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 처음으로 다시 만날 때까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는? [3.8점]

③

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

서술형

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -12x+9]의 증가와 감소를 조사하여 그래프를 그리고, 극값을 구하는 과정과 정답을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: 25], [eqn: -7] ([eqn: x=±2]일 때)

삼차함수 [eqn: f(x)=4x ^{3} +px ^{2} +qx+3]이 [eqn: x= {2} over {3}]와 [eqn: x=1]에서 극값을 가지고, 사차함수 [eqn: g(x)=x ^{4} -4x ^{2} -k]라 할 때, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: g(x) GEQ f(x)]가 성립하도록 [eqn: p], [eqn: q]의 값과 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하는 과정과 정답을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: p=-10], [eqn: q=8], [eqn: k le -11]

[eqn: int _{-a} ^{a} {(x ^{n} +3x ^{2} )dx} = int _{-a} ^{a} {3x ^{2} dx=16}],
[eqn: int _{-a} ^{a} {left{1+2x+3x ^{2} +4x ^{3} +···+(n+1)x ^{n} right}dx=84}]
을 만족시킬 때, 상수 [eqn: a]와 자연수 [eqn: n]의 값을 구하는 과정과 정답을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: n=5], [eqn: a=2]

① [eqn: n]은 홀수

② [eqn: 4+16+64=84]

곡선 [eqn: y=x ^{2} -2x]와 직선 [eqn: y=kx]로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: x]축에 의하여 [eqn: S_1], [eqn: S_2]로 나뉜다고 하자. [eqn: S_1], [eqn: S_2]의 넓이의 비가
[eqn: S _{1} :S _{2} =1:m]을 만족한다고 할 때, 최소의 자연수 [eqn: m], [eqn: k]의 합
[eqn: m+k]를 구하는 과정과 정답을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: 9]

① [eqn: (k+2) ^{3} =8(m+1)]

② [eqn: m], [eqn: k]는 자연수에서 [eqn: m=7], [eqn: k=2]

[2015년 운정고]

[2학년(이과) 1학기 기말 미적분1]

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